Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số cơ bản

Giới hạn hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình giải tích lớp 11. Bài tập của nội dung này tương đối dễ. Tuy nhiên để làm được bài tập trong chương này học sinh cũng cần phải nắm được một số kiến thức cơ bản và các phương pháp giải các dạng toán thường gặp.

Xem thêm: Bài tập chương IV đại số và giải tích 11: giới hạn và liên tục

Dạng 1: Giới hạn hàm số tại một điểm \left( {x \to {x_0}} \right)

Bài toán: Tính  {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)

TH1: Nếu f\left( x \right) xác định tại {x_0} thì  {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) (chỉ cần thế {x_0} vào hàm số f\left( x \right)).

TH2: Nếu thế {x_0} vào f\left( x \right) mà được các dạng vô định (nghĩa là f\left( x \right) không xác định tại {x_0}):

1. Dạng \frac{0}{0}: dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân lượng liên hợp (nếu có chứa căn).

2. Dạng \frac{a}{0} (với a \ne 0, thường gặp trong giới hạn một bên): ta làm theo các bước: tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của {x_0}. Dựa vào dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả theo bảng dưới đây:

tinh gioi han

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a.  {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 1} \right)

Phân tích: ta thấy hàm số {f(x) = \sqrt {{x^2} + 5} - 1} xác định tại {x_0} = - 2 nên ta chỉ cần thay {x_0} = - 2 vào hàm số là được kết quả.

Giải

 {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {\sqrt {{x^2} + 5} - 1} \right) = \sqrt {{{\left( {- 2} \right)}^2} + 5} - 1 = 2

b.  {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}}

Phân tích: ta thấy nếu thế {x_0} = 1 vào hàm số f(x) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}} thì cả tử và mẫu đều là 0 (nghĩa là ta có dạng vô định \frac{0}{0}) và cả tử và mẫu đều là tam thức bậc hai nên ta sẽ tách theo công thức: a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) với {x_1}{x_2} là hai nghiệm của phương trình a{x^2} + bx + c = 0.

Giải

 {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}} = {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3}}{{2\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{{1 + 3}}{{2\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)}} = \frac{4}{3}

c.  {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 - x}}{{\sqrt {x + 7} - 3}}

Phân tích: dễ dàng nhận thấy đây cũng là dạng vô định \frac{0}{0} nhưng ở mẫu có chứa căn nên ta sẽ dùng phương pháp nhân lượng liên hợp.

Giải

{\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 - x}}{{\sqrt {x + 7} - 3}} = {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 7} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}} = {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {x + 7} } \right)}^2} - {3^2}}}

 = {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)}}{{x - 2}} = {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ { - \left( {\sqrt {x + 7} + 3} \right)} \right] = - 6

d.  {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 3}}{{2 - x}}

Giải

Ta có:  {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2x - 3} \right) = 2.2 - 3 = 1  data-recalc-dims= 0" />

 {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 - x} \right) = 2 - 2 = 02 - x < 0\,\forall x  data-recalc-dims= 2" />

Suy ra:  {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2x - 3}}{{2 - x}} = - \infty

e.  {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right)\sqrt {\frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 1}}} (dành cho bạn đọc)

Dạng 1: Giới hạn hàm số tại vô cực \left( {x \to \infty} \right)

Bài toán: Tính  {\lim }\limits_{x \to\infty} f\left( x \right)

Dạng toán này thường áp dụng 2 phương pháp:

  1. Rút x mũ cao nhất (thường áp dụng cho các dạng \frac{\infty }{\infty },\infty - \infty ).
  2. Nhân lượng liên hợp (thường áp dụng cho dạng \infty - \infty và có chứa căn thức).

Các giới hạn đặc biệt cần nhớ:

  1.  {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c
  2.  {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{{x^n}}} = 0 với n nguyên dương.
  3.  {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^q} = 0 với \left| q \right| < 1.
  4.  {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = + \infty với n nguyên dương.
  5.  {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = + \infty nếu n chẵn và  {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty nếu n lẻ.

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a.  {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^3} - 3x + 1}}{{3x + 4{x^2} - {x^3}}}

Giải

{\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^3} - 3x + 1}}{{3x + 4{x^2} - {x^3}}} = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3}\left( {2 - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{4}{x} - 1} \right)}} = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}}}{{\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{4}{x} - 1}} = - 2

b.  {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right)

Giải

 {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right)\left( {2x + \sqrt {4{x^2} + x} } \right)}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }}

 = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{x^2} - \left( {4{x^2} + x} \right)}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }} = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{2x + \sqrt {4{x^2} + x} }}

 = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{2x + x\sqrt {4 + \frac{1}{x}} }} = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right)}}

 = {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} }} = - \frac{1}{4}

c.  {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right)

Giải

 {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {{x^2}\left( {4 + \frac{1}{x}} \right)} } \right)

 = {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + x\sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right) = {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\left( {2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right)} \right]

 {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty  {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right) = 4  data-recalc-dims= 0" />

Nên  {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\left( {2 + \sqrt {4 + \frac{1}{x}} } \right)} \right] = - \infty

Vậy  {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + x} } \right) = - \infty

Xem thêm: Bài tập chương IV đại số và giải tích 11: giới hạn và liên tục

Có 17 trả lời

  1. bùi duy thiện says:

    thầy cho em hỏi ở phần c và b ở dạng x tiến tới vô cùng ấy sao phần b em làm theo cách của phần c thì kết quả lại khác ak

    • Công Hậu says:

      ban gửi hình qua cho mình đi bài giải của bạn đấy....mình xem rồi giải thích dùm cho

      • hoàng says:

        A ơi sao trg căn nhân lượng liên hiệp là a Bình cộng b bình trêncho a trừ b đúng hk là mình giữ lại cái mẫu à

  2. hay

  3. nguyễn anh tuấn says:

    Ai giải giúp mình vs ạh...lim xcăn 1+4x
    . x->0

  4. lêhuyền trân says:

    Thầy giải hay max bữa jờ e cứ nhầm lẫn các cách giải vs nhau jờ e đã hiểu e cãm ơn

  5. Be lun says:

    Bai nay minh ap dung bao nhieu phuong phap vay thay

  6. Giải giúp mk bài nay di.lim x—>2.(x+7 tat ca can mu 3-2 )÷(x-2)

  7. em co mot thac mac la neu tinh lim o phan so thi o lop co day em dat bien co so mu lon nhat cua ca tu va mau ra ngoai nhung o lop hoc then thi thay lai day em dat bien co so mu lon nhat cua tu ra ngoai ,cua mau ra ngoai roi moi lay bien da dat ra chia cho bien co so mu lon nhat cua ca tu va mau.moi dau em tuong do la hai cach nhung sau khi lam cung mot bai voi hai cach nhu tren thi khong ra ket qua giong nhau .vay cho em hoi em nen lam theo cach nao thi dung a.

  8. phuong says:

    câu b và c của x tiến tới vô cực tại sao lại làm theo 2 cách khác nhau z

    • BAOHTB says:

      Một trường hợp là  + \infty , một trường hợp là  - \infty . Nếu câu a bạn rút x giống câu b sẽ ra dạng vô định.

  9. Lê Hải Đăng says:

    Phần c giải sai rồi chỗ dấu bằng thứ 3 phải là 2x-xcăn(4+1\x)

Ý kiến bạn đọc