Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

Trong bài trước chúng ta đã biết khái niệm nguyên hàm của hàm số và các tính chất của nguyên hàm, trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số. Tuy nhiên, để có thể tiếp cận được các phương pháp này, chúng ta cần phải nắm vững nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp đã được đề cập ở bài viết trước.

Xem thêmKhái niệm nguyên hàm của hàm số và các tính chất

Phương pháp đổi biến số

Ta biết rằng nếu \int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} thì \int {f\left( t \right)dt = F\left( t \right) + C} .

Từ đó ta có phương pháp để tìm nguyên hàm của những hàm số dạng g\left( x \right) = f\left( {u(x)} \right)u'(x) bằng cách đặt t = u(x).

Nội dung phương pháp đổi biến số tính: \int {g\left( x \right)dx} = \int {f\left( {u(x)} \right)u'(x)dx}

Đặt t = u(x) \Rightarrow dt = u'(x)dx (lấy đạo hàm hai vế)

 \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \int {f\left( t \right)dt = F\left( t \right) + C}

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x \right) = {\sin ^3}x\cos x

Phân tích: Ta thấy f\left( x \right) = {\sin ^3}x\cos x = {\left( {\sin x} \right)^3}\left( {\sin x} \right)' nên ta có thể đặt t = \sin x.

Giải

t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

 \Rightarrow \int {{{\sin }^3}x\cos x} dx = \int {{t^3}dt} = \frac{{{t^4}}}{4} + C = \frac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C \left( {C \in R} \right)

Ví dụ 2: Tính \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx}

Phân tích: x\sqrt {{x^2} + 1} = {\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}2x = \frac{1}{2}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 1} \right)'

Giải

Đặt t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx

\int {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}2xdx} = \frac{1}{2}\int {{t^{\frac{1}{2}}}} dt = \frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{3} + C

 = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{3} + C = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{3} + C \left( {C \in R} \right)

Lưu ý: Ta có thể giải ví dụ 2 như sau:

t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow 2tdt = 2xdx \Rightarrow tdt = xdx

 \Rightarrow \int {x\sqrt {{x^2} + 1} } dx = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .x} dx = \int {t.tdt} = \int {{t^2}dt}

 = \frac{{{t^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^3}}}{3} + C = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{3} + C

Nguyên hàm của một số hàm số hợp đơn giản

1) \int {kdx} = kx + C

2) \int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{a}\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\,\,\,\left( {\alpha \ne 1} \right)

3) \int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\,\,\,\left( {x \ne 0} \right)

4) \int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C

5) \int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C

6) \int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C

7) \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = \frac{1}{a}\tan \left( {ax + b} \right) + C

8) \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = - \frac{1}{a}\cot \left( {ax + b} \right) + C

Các bạn có thể chứng minh các công thức trên bằng phương pháp đổi biến và sau này trong quá trình làm bài tập ta có thể áp dụng ngay các công thức nguyên hàm trên mà không phải chứng minh lại.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần áp dụng để tính nguyên hàm của những hàm số f(x) có dạng tích của hai hàm số dạng: f(x) = u(x).v'(x)

Theo công thức đạo hàm của một tích, ta có:

\left( {uv} \right)' = u'v + uv' \Rightarrow uv' = \left( {uv} \right)' - vu'

 \Rightarrow \int {uv'dx = } \int {\left[ {\left( {uv} \right)' - u'v} \right]dx} = uv - \int {u'vdx}

Hay ta có: \int {udv = uv - \int {vdu} }

Đây được gọi là công thức tính nguyên hàm từng phần.

Phương pháp nguyên hàm từng phần: Tính \int {f\left( x \right)dx} = \int {u(x).v'(x)dx}

Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = u(x) \Rightarrow du = u'(x)dx\ (lay\ dao\ ham\ hai\ ve) \\dv = v'(x)dx \Rightarrow v = v(x)\ (lay\ nguyen\ ham\ hai\ ve) \end{array} \right.

 \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = uv - \int {vdu}

Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phần thường áp dụng cho các hàm số có dạng tích của hai hàm số thuộc các dạng như: đa thức, mũ, lượng giác, logarit.

Chẳng hạn như: \int {P(x).{e^x}dx}       \int {P(x).\sin xdx}       \int {P(x).\ln xdx}

Với P(x) là một hàm đa thức.

Với dạng này ta cần nhớ thứ tự ưu tiên đặt u là: log, đa, mũ, lượng.

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm: \int {\left( {2x - 1} \right){e^x}dx}

Phân tích: Hàm số có dạng tích của một đa thức và một hàm mũ. Vậy theo chú ý trên ta sẽ đặt u là đa thức, phần còn lại là dv.

Giải

Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx\\dv = {e^x}dx \Rightarrow v = {e^x}\end{array} \right.

 \Rightarrow \int {\left( {2x - 1} \right){e^x}dx} = \left( {2x - 1} \right){e^x} - \int {{e^x}2dx} = \left( {2x - 1} \right){e^x} - 2{e^x} + C

 = \left( {2x - 3} \right){e^x} + C

Ví dụ 4: Tính \int {\left( {{x^2} - 3x} \right)\ln xdx}

Giải

\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\\dv = \left( {{x^2} - 3x} \right)dx \Rightarrow v = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2}\end{array} \right.

 \Rightarrow \int {\left( {{x^2} - 3x} \right)\ln xdx} = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x - \int {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2}} \right)\frac{1}{x}dx}

 = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x - \int {\left( {\frac{1}{3}{x^2} - \frac{3}{2}x} \right)dx}

 = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2}} \right)\ln x - \left( {\frac{1}{6}{x^3} - \frac{3}{4}{x^2}} \right)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

bai tap nguyen ham

Trên đây là hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số mà ta cần phải nắm vững để có thể giải được các bài tập tính nguyên hàm. Trong bài viết sau ta sẽ tìm hiểu về tích phân và các ứng dụng của nó.

Ý kiến bạn đọc